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Tradicionalmente, um número radical ou irracional não pode ser deixado no denominador (parte inferior) de uma fração. Quando um radical aparece no denominador, você precisa multiplicar a fração por um termo ou conjunto de termos que podem remover essa expressão radical. Embora o uso de calculadoras torne a racionalização de frações um pouco desatualizada, essa técnica ainda pode ser testada em aula.

Passos

Método 1 de 4: racionalizando um denominador monomial

1. 

   Examine a fração. Uma fração é escrita corretamente quando não há radical no denominador. Se o denominador contém uma raiz quadrada ou outro radical, você deve multiplicar a parte superior e a inferior por um número que pode eliminar esse radical. Observe que o numerador pode conter um radical, mas não se preocupe com o numerador.
   • Podemos ver que existe um no denominador.

2. 

   
   
   Multiplique o numerador e o denominador pelo radical no denominador. Uma fração com um termo monomial no denominador é a mais fácil de racionalizar. Tanto a parte superior quanto a inferior da fração devem ser multiplicadas pelo mesmo termo, porque o que você realmente está fazendo é multiplicar por 1.
   • Se você estiver inserindo seu problema em uma calculadora, lembre-se de colocar parênteses ao redor de cada equação para mantê-los separados.

3. 

   
   
   Simplifique conforme necessário. Complete a equação que você acabou de fazer para chegar à sua forma mais pequena. Nesse caso, você cancelará o fator comum tanto no numerador quanto no denominador (7).

Método 2 de 4: racionalizando um denominador binomial

1. Examine a fração. Se sua fração contém uma soma de dois termos no denominador, pelo menos um dos quais é irracional, você não pode multiplicar a fração por ela no numerador e no denominador.
   • Para ver por que esse é o caso, escreva uma fração arbitrária onde e são irracionais. Então a expressão contém um termo cruzado Se pelo menos um de e for irracional, o termo cruzado conterá um radical.
   • Vamos ver como isso funciona com nosso exemplo.
   • Como você pode ver, não há como nos livrarmos do denominador depois de fazer isso.

2. 

   
   
   Multiplique a fração pelo conjugado do denominador. O conjugado de uma expressão é a mesma expressão com o sinal invertido. Por exemplo, o conjugado de é
   • Por que o conjugado funciona? Voltando à nossa fração arbitrária, multiplicar pelo conjugado no numerador e no denominador resulta no denominador sendo. A chave aqui é que não há termos cruzados. Como esses dois termos estão sendo elevados ao quadrado, quaisquer raízes quadradas serão eliminadas.

3. 

   Simplifique conforme necessário. Reduza a fração à sua forma mais simples, encontrando o fator comum no numerador e denominador. Nesse caso, 4 - 2 = 2, que você pode usar para cancelar o número inferior.

Método 3 de 4: Trabalhando com Recíprocos

1. 

   Examine o problema. Se você for solicitado a escrever o recíproco de um conjunto de termos contendo um radical, será necessário racionalizar antes de simplificar. Use o método para denominadores monomiais ou binomiais, dependendo do que for aplicável ao problema.

2. 

   Escreva o recíproco como normalmente aparece. Um recíproco é criado quando você inverte a fração. Nossa expressão é na verdade uma fração. Está apenas sendo dividido por 1.

3. 

   Multiplique por algo que possa se livrar do radical na parte inferior. Lembre-se de que, na verdade, você está multiplicando por 1, portanto, é necessário multiplicar o numerador e o denominador. Nosso exemplo é um binômio, portanto, multiplique o topo e o fundo pelo conjugado.

4. 

   Simplifique conforme necessário. Obtenha a fração até a menor e menor quantidade possível de números, completando a equação. Neste exemplo, 4 - 3 = 1, portanto, você pode remover a parte inferior da fração totalmente.
   • Não se surpreenda com o fato de que o recíproco é o conjugado. Isso é apenas uma coincidência.

Método 4 de 4: Racionalizando Denominadores com uma Raiz Cúbica

1. 

   Examine a fração. Você também pode esperar encontrar raízes cúbicas no denominador em algum ponto, embora sejam mais raras. Este método também generaliza para raízes de qualquer índice.

2. 

   Reescreva o denominador em termos de expoentes. Encontrar uma expressão que racionalize o denominador aqui será um pouco diferente porque não podemos simplesmente multiplicar pelo radical.

3. 

   Multiplique o topo e o fundo por algo que torne o expoente no denominador 1. No nosso caso, estamos lidando com uma raiz cúbica, então multiplique por Lembre-se de que os expoentes transformam um problema de multiplicação em um problema de adição pela propriedade
   • Isso pode generalizar para enésimas raízes no denominador. Se tivermos, multiplicamos o topo e o fundo por Isso formará o expoente no denominador 1.

4. 

   Simplifique conforme necessário.
   • Se você precisar escrever de forma radical, fator o

Perguntas e respostas da comunidade

Como posso racionalizar com três termos?

Algo como 1 / (1 + root2 + root3)? Se assim for, agrupe como 1+ (root2 + root3) e multiplique pela "diferença de quadrados conjugados" 1- (root2 + root3). Isso torna o denominador -4 - root6, que ainda é irracional, mas melhorou de dois termos irracionais para apenas um. Portanto, repita o mesmo truque multiplicando por -4 + root6 e o ​​denominador será racionalizado.

Em suas fotos, o que significa o ponto?

Se você está perguntando sobre os pontos que são colocados entre as várias frações, esses são sinais de multiplicação. Por exemplo, na segunda imagem do artigo, vemos (7√3) / (2√7), depois um ponto e (√7 / √7). Isso significa que multiplicamos a primeira fração pela segunda fração (numerador vezes numerador e denominador vezes denominador), dando-nos (7√21) / 14, que simplifica para √21 / 2. (A propósito, o artigo mostra alguns outros pontos que não estão entre frações. Esses são apenas "marcadores".)

Como posso racionalizar o denominador com uma raiz cúbica que possui uma variável?

Se for uma expressão binomial, siga as etapas descritas no método 2.

Como você racionaliza uma raiz cúbica no denominador para uma pergunta como 1 / (raiz cúbica 5 - raiz cúbica 3)?

Isso é um pouco mais complicado, mas pode ser feito. Multiplique o topo e a base por (cuberoot 25 + cuberoot 15 + cuberoot 9) e o denominador simplifica para 2. Este truque é análogo ao caso quadrático, pois usa a diferença de fatoração de cubos de 5-3, enquanto os quadráticos usam a diferença de fatoração de quadrados.

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  Como posso racionalizar um denominador trinomial? Responda

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